Rigla si compasul au constituit pentru matematicienii antici principalele unelte utilizate in studiul geometriei, studiu din care a derivat treptat, prin efortul mintii de-a lungul a mii de ani, intregul edificiu al stiintei si tehnicii contemporane. Constructia unui cerc, a unui patrat, efectuarea unor operatii algebrice cu ajutorul riglei si compasului, au modelat pe nesimtite un mod de gindire. Mintea s-a scufundat intr-un spatiu euclidian in care se simte bine, in care se poate "juca" cu materia. Sfere intre tuburi cilindrice formeazaceea ce noi numim azi rulmenti, cuburi cu fetele marcate   (zaruri) aduc pentru unii fericirea sau dezastrul, prisme si piramide, organizate intre drepte si curbe alcatuiesc decorul in care ne adapostim de furiile vremii. Totul este gandit si realizat practic in acest spatiu euclidian. Obiectele muncii noastre sunt scufundate in acest spatiu 1D,2D,3D. Dar oare Natura s-a limitat in a construi corpuri geometrice doar in acest spatiu atat de particular, a carui masura este un numar intreg si mai mic decat 3? Sa exploram cateva imagini din natura si sa incercam sa le "indesam" intr-o viziune euclidiana.  
 
Imagini ce sugereaza dificultatea utilizarii geometriei euclidiene in descrierea formelor naturale
 
 
Cele vazute nu prea arata a fi desprinse dintr-o lume "geometrica", am putea spune chiar ca din contra. Nu ne prea mai sunt de folos compasul sau rigla. Pentru a genera modele asemanatoare imaginilor prezentate ne trebuie o alta unealta, mai complexa decat rigla si compasul. Si aceasta unealta, minune a gandirii colective a oamenilor de  pretutindeni, este Calculatorul.El a constituit poarta prin care s-a intrat in lumea fractalilor, lume definita in 1975 odata cu aparitia primei carti a lui Mandelbrot:
 "Les objects fractales, 
forme, hasard et dimension".  
 
Benoid Mandelbrot
parintele Geometriei Fractale 
 
 
DAR CE ESTE LA URMA URMEI UN FRACTAL? 

 Daca o figura geometrica este in general usor de construit si se defineste prin aceasta constructie, un obiect fractal este mai dificil de surprins in complexitatea sa. El necesita din partea observatorului un efort imaginativ, o participare mentala de natura unui proces nesfarsit ce permite "dezvoltarea" unei "seminte". Limita procesului, a dezvoltarii semintei, este chiar obiectul fractal cautat. In adevaratul sens al definitiei unui fractal, acesta nu poate fi materializat. Procesul de dezvoltare poate fi oprit la un moment dat, dar, asemanator definitiei limitei unui sir, adevaratul fractal se va gasi intotdeauna in partea taiata si nedezvoltata. Ceea ce s-a obtinut prin intreruperea procesului de dezvoltare, este o parte ce sugereaza sau devoaleaza regula de constructie, dar nu este, in adevaratul sens al definitiei, un obiect fractal.  

CURBA LUI VON KOCH 
 

 
 
 
 
Dar sa fim mai expliciti. Asa cum se incepe geometria clasica, prin desenarea unor obiecte simple (un cerc de exemplu), sa incercam sa construim un "prototip" pentru viitoarea gandire a unui "fractalist": un fractal geometric determinist numit:  
Curba lui von Koch. Generarea sa implica alegerea unui  
INITIATOR (dreapta), a unei 
LEGI de constructie (de transformare, de deformare, de rupere, etc) si un 
PROCES ce repeta la nesfarsit aceeasi operatie dictata de legea aleasa, asupra fiecarei parti rezultate din operatia initiala. 
Concret, in acest caz legea impune ca dreapta sa fie divizata in trei parti egale, sa fie inlaturata partea centrala si in locul ei sa se puna un triunghi echilateral fara baza.  
Daca veti rula programul nostru de generare a curbei lui von Koch, veti identifica usor aceasta prima etapa. Apoi intervine procesul recursiv ce presupune aplicarea legii pe fiecare segment de dreapta rezultat.
 In acest caz, cele 4 segmente devin, fiecare in parte, un "nou" initiator, suportul a 4 "imagini" micsorate si asezate dupa aceeasi regula. Si asa mai departe... Sa nu uitam ca mintea noastra trebuie sa preia esenta procesului si sa o continue la infinit, caci doar dupa infinit de multi pasi se obtine ceea ce se numeste Fractalul lui Koch.  

Aceasta curba este de lungime infinita si are o dimensiune proprie intre 1 si 2. Este un obiect "ciudat" pentru gandirea unui om neobisnuit sa lucreze in abstract. Este o curba continua, nederivabila in nici un punct, care depaseste "natura" unei linii, dar nu atinge calitatea de a fi suprafata. Dimensiunea proprie, caracteristica curbei Koch este: 

  

Df = Ln(4) / Ln(3) = 1.26185........
Cum se ajunge la aceasta valoare, cititi in bibliografia indicata de noi. 

 Ne-am obisnuit sa producem si sa cerem 100 m liniari (D=1) de sarma, o suprafata de mocheta de 100 m patrati (D=2). Oare vom ajunge sa construim in viitor obiecte care sa necesite cuvintele: - va rog sa-mi dati si mie 173 de metri la puterea 1.26 din acea structura ....?!?! (va invitam sa experimentati singuri in programul (koch.zip-20K) rulabil sub DOS dupa decomprimare, pe orice calculator (de la 286 in sus)) 

 PRAFUL LUI CANTOR  
 

O alta varianta la fel de cunoscuta in lumea fractalilor este praful lui Cantor. Ideea de generare este aceeasi. Se porneste de la un initiator ce este si in acest caz un segment de dreapta. Legea de generare presupune doar indepartarea treimii din mijloc a segmentului. In acest mod, prin repetarea la nesfarsit a legii, se obtine o structura alcatuita dintr-un set de puncte, structura caracterizata printr-o dimensiune data de relatia:   
Df = Ln(2) / Ln(3) = 0.63092..... 
Din nou o structura particulara, cu dimensiune intermediara cazurilor cunoscute de geometria euclidiana.
 Nici de dimensiune zero, specifica punctului, dar nici de dimensiune 1, specifica liniei, ci 0.63092... Un mic "monstru" matematic, scufundat intr-o linie, dar care are identitate doar in spatiul 0.63092... 
 Oare cate fenomene fizice ce se desfasoara in jurul nostru ar putea fi descrise, caracterizate prin acest model al prafului lui Cantor. Mai multe informatii despre acest subiect in Cartea lui Alain Boutot "Inventarea Formelor" din colectia  Stiinta Complexitatii a editurii NEMIRA, pe care va invitam sa o cititi cu atentie, chiar daca pe alocuri va va parea dificila. 

 SITA LUI SIERPINSKI  

O prima concluzie privind generarea unei structuri fractale, caracterizate de o dimensiune proprie fractionara, cuprinsa intre dimensiunea "elementului de constructie" (de exemplu o linie, D=1) si cea a spatiului in care se va scufunda obiectul generat (de exemplu D=2 pentru Koch), este legata de necesitatea interventiei unui proces recursiv. O repetare a legii asupra propriului produs. O "reverberare" logica, o "microfonie" intelectuala, o aplicatie intr-un sistem cu feed- back. Bineinteles ca nu orice lege imaginata va conduce la aparitia unui fractal, dar orice fractal poate fi descris printr-un proces recursiv (repetitiv). 

 Sa imaginam urmatoarea aplicatie: Fie intr-un plan trei puncte distribuite la intamplare si considerate ulterior puncte fixe A, B si C. Acum sa descriem "legea" de generare: alegem la intamplare un punct D in plan si tot la intimplare unul din punctele A, B sau C. Sa spunem ca "zarul" a ales punctul B. Se delimiteaza astfel segmentul de dreapta DB pe care putem MARCA, la mijlocul segmentului, punctul D' .  

Urmeaza procesul recursiv: considerind punctul D' ca fiind D se repeta algoritmul (legea) de mai sus, adica: se alege alt punct la intimplare (X) dintre A, B sau C, se reconstruieste segmentul DX, se marcheaza punctul D' la mijlocul segmentului si se reia algoritmul. Intrebarea ce se poate pune, extrem de dificila pentru un om neantrenat cu aceste aplicatii recurente, principial diferite de prelucrarile clasice aditive ce operau mai mult in domeniul cantitativului, este: Cum arata multimea de puncte (D) dupa cateva mii de repetari ale acestui elementar algoritm? Inceracti sa va imaginati acest "loc geometric" definit recursiv si apoi, pentru confruntare cu realitatea, verificati acum (serpin.zip-36K) . Surpriza unei asemenea diferente dintre predictie si imaginea efectiv generata de programul amintit este suficienta pentru a atrage atentia asupra acestui mod inedit de a genera structuri complexe prin metode elementar de simple. Este si surpriza majora oferita cercetatorilor de prezenta in viata lor a calculatorului electronic.  

Acesta devine "spatiu de experiment", proprietate extrem de incitanta pentru spiritul doritor de nou. Experimentul pe calculator capata dimensiuni euristice nebanuite. Putem descoperi oare legi noi ale Universului nostru cu ajutorul unei unelte inventate de noi (calculatorul) ? Iata o directie de studiu demna de mileniul trei in care, cu speranta si oarecare teama, vom pasi in curand.  

GENERAREA UNOR STRUCTURI ARBORESCENTE  

Am prezentat pana aici metode de generare a unor structuri geometrice fractale, dar care nu au, la prima vedere, un corespondent direct in lumea inconjuratoare. Din acest motiv, multi dintre cei ce au parcurs materialul nostru pana aici ar putea spune ca obiectul fractal nu este decat o alta "speculatie matematica", suficient de abstracta pentru a nu avea valoare practica si deci nefolositoare in principiu. Sa incercam sa generam un alt "obiect" folosind tot repetitia unei legi capabile sa dezvolte o structura complexa pornind de la o "samanta". De data aceasta samanta este mai complicata, o "schita" simplificata a unei structuri arborescente. Sa ne imaginam ca, in virful fiecarei ramuri terminale, atasam aceeasi saminta, micsorata de k ori, pentru ca apoi, in varful fiecarei ramuri terminale, ale fiecarei seminte micsorate si atasate fiecarei ramuri terminale din samanta initiala , sa atasam alta samanta identica cu prima, dar micsorata din nou de k ori. Cum arata oare imaginea dupa 3,4,...n iteratii? Cum se schimba aceasta daca schimbam structura semintei? Dar daca, in loc de o structura determinista pentru samanta, punem o samanta generata aleator? Sau daca nu se dezvolta toate ramurile? Si uite asa, fata in fata cu calculatorul, in acest "holospatiu de experimentare", intrebarile se succed din ce in ce mai repede, potentate de rezultatele uimitoare generate de cele cateva linii dintr-un program. Acesta este un experiment pe calculator. Din numeroasele structuri generate, unele seamana izbitor de bine cu structuri reale. Va invitam sa constatati si singuri si sa intrati cu toate "bagajele" in spatiul experimental. (arbori.zip-21K )  

PROFILE FRACTALE 

 In cartea lui Boutot se vorbeste de miscarea browniana fractionara, care este capabila sa genereze o linie cu dimeniune fractala controlata. In acest moment al experimentului, nu este interesant de identificat algoritmul de generare propriu-zis. Sunt cunoscute in literatura de specialitate multe variante derivate din principii matematice clare sau din simple repetitii ale unor algoritmi geometrici. Important din punctul nostru de vedere ar fi sa incercati sa identificati asemanari cu figuri cunoscute din realitate, sa va imaginati utilizarea acestor profile pentru caracterizarea unor obiecte naturale. Sa surpindeti astfel adevarata fateta a geometriei fractale care poate fi considerata din acest punct de vedere o "geometrie a naturii", o metodologie de auto-descriere comprimata a unor corpuri din natura, metodologie mult mai adecvata cercetarilor din geofizica, astrofizica sau biofizica.  

Sa ne imaginam un peisaj montan.  

La orizont, muntii delimiteaza pe albastrul cerului un profil specific, usor de recunoscut daca ceva din poza ne duce cu gandul la peisaj. Dar ceea ce vedem este extrem de asemanator cu profilul unei piese metalice sa zicem, vazut la microscop (aspect cunoscut sub numele de rugozitate). Deci profilul este asemanator pentru situatii atat de diferite, la scari ce nu par sa aiba nimic in comun. Dar sa nuantam un pic. Structura unui profil muntos vechi si erodat este mult mai lina, mai aproape de o linie ondulata in timp ce profilul unui lant vulcanic recent este mult mai accidentat, mai diferit de o linie. Ochiul inregistreaza usor aceste observatii, creierul le manifesta prin comparatie: acesta pare mai lin decat acela. Dar stiinta incepe de acolo de unde se poate masura, unde o abordare doar calitativa nu mai satisface, unde este ceruta o delimitare precisa, in limita unei erori determinate si considerate a fi acceptabile. Si aici incepe rolul dimensiunii fractale care poate distinge printr-un numar (Df), diferentele de structura. Ceea ce nu poate face statistica, poate face pana la un anumit prag dimensiunea fractala. Iar impreuna, cele doua moduri de a estima un asemenea profil complicat permit nuantari deosebite. Permit spiritului sa cucereasca si alte dimensiuni in cunoastere, dimensiuni legate de morfogeneza, de forme naturale, de descoperirea unor mecanisme si scopuri profunde ale Naturii. Este poate pasul spre o Ortotehnologie , spre "tehnologia naturala" a mileniului trei.  

Sa ne "jucam" putin cu un program simplu care poate genera profile cu dimensiune fractala controlata. Se va indica valorea Df (intre 1.1 si 1.9) si se va urmari aspectul profilului in desfasurarea lui. Particular si general. Asemanare si specificitate. Aceasta este dilema ce poate fi evaluata acum "mai stiintific" cu ajutorul cunostintelor din geometria fractala (fisier ZIP-22K) . 

 DESPRE AUTOSIMILARITATE 

 O proprietate interesanta ce rezulta din insasi modul de definire al unui fractal este cea numita si autosimilaritate. Conform acestei proprietati, o parte din structura seamana cu intregul. Orice decupare la scara oarecare sau anume aleasa, aduce in fata ochilor nostri aceeasi "informatie", ne dezvaluie acelasi aspect. Aceasta proprietate este evidenta atat in cazul curbei lui Koch, cat si in cazul prafului lui Cantor. Ilustram prin detaliul preluat din sita lui Sierpinski (sita.zip-20K) aceasta proprietate deosebita a oricarui fractal determinist  

Desi mai putin evidenta la o examinare vizuala, aceeasi proprietate este prezenta si in cazul fractalilor aleatori, fractali obtinuti in mod asemanator celor geometrici deterministi, doar ca in definirea legii de generare apar unul sau mai multi parametri aleatori. 

 DETERMINAREA DIMENSIUNII FRACTALE 

 Pana acum, programele elaborate de noi au incercat sa va sugereze structuri complicate, generate recursiv si care poarta numele de fractali. Deci accentul a fost pus pe generare, pe obtinerea unor obiecte de studiu care sa prezinte o serie de proprietati precum: autosimilaritate, invarianta la scalare, dimensiune proprie neintreaga (dimensiune fractionara). Oare cum ar fi problema inversa? Fiind data o structura, i se poate determina dimensiunea fractala? si daca da, cum? Pentru a intelege acest lucru, pe langa informatiile din cartea lui Boutot, sa ne reamintim cateva lucruri de baza din matematica si fizica, legate de conceptul de masura. Si, in acest demers teoretic sa pornim de la un cerc, figura euclidiana elementara, definita simplu: locul geometric al tuturor punctelor egal departate de centru. O caracteristica importanta ce apare din definitie si care caracterizeaza un cerc anume este raza R (dublul ei este considerat a fi diametrul D). O marime ce rezulta implicit din definitie este lungimea perimentrului unui cerc de raza R. Inca din clasa a 5-a stim ca aceasta lungime este egala cu PI*D. Dar sa vedem cum se ajunge la aceasta valoare. Sa aproximam perimetrul cercului printr-un poligon regulat de latura (L) inscris in cerc. Perimetrul va fi aproximat prin lipsa, cu o valoare dependenta chiar de numarul laturilor poligonului (N(L)):  

P1 (L) ~ N1(L)* L
O aproximare mai buna se va face daca L scade, respectiv cand coarda se apropie din ce in ce mai mult de arcul subintins. Daca avem o serie de poligoane inscrise in cercul de masurat, cu laturi din ce in ce mai mici: 

  

L1>L2>L3> ........>Ln
obtinem un sir de aproximate: 

  

P1(L1)< P2(L2)
Analiza acestui sir de aproximate ale perimentrului, atunci cand Ln tinde catre zero, este cheia catre conceptul de masura si dimensiune. Se spune ca obiectul analizat este masurabil, si deci are sens sa discutam de dimensiune, doar daca limita sirului de mai sus exista, este finita si diferita de zero. In acest caz, limita este chiar valoarea cunoscuta PI*D.  

Mai tragem o concluzie imediata din cele de mai sus, si anume ca, atunci cand limita exista si este finita, eroarea dintre limita sirului (adevarata valoare) si o valoare oarecare din sirul de aproximate este cu atat mai mica cu cat scara de masura (L) este mai mica. 

 Concluzia a devenit de bun simt si deci pornim sa masuram ceva direct cu o scara cat mai mica pentru a minimiza eroarea. Nu prea mai verificam daca obiectul masurat "se lasa supus masurarii", caci in mintea noastra acest lucru este evident. Si de multe ori avem dreptate. Dar nu in toate cazurile! 

 Sa ne amintim de masuratorile efectuate de Richardson la inceputul acestui secol, privind perimetrul unei insule. Activitatea sa s-a desfasurat intr-un moment de mare dezvoltare stiintifica si tehnica, perioada in care au fost elaborate metode de obtinere a hartilor din ce in ce mai amanuntite. Intr-un anume fel, involuntar, s-a efectuat insusi procesul descris mai sus de verificare a masurabilitatii obiectului studiat, in acest caz a perimetrului unui obiect real, perimetrul unei insule. Surpriza mare a lui Richardson a constat in observatia ca aproximatiile din ce in ce mai bune ale perimentrului, facilitate de harti din ce in ce mai detailate, nu au format un sir convergent spre o limita finita, contrazicand practic insasi conditia de baza a masurabilitatii. Se punea acut intrebarea, are sau nu insula un perimetru?  

Cand se vorbea de insula nu se intelegea figura insulei, acea limitare de catre un contur realizat cu creionul pe hirtie, ci de obiectul real care oferea observatorului din ce in ce mai multe detalii, pe masura ce scara de masura se micsora. O prima solutionare a fost insasi propunerea lui Richardson: de a se mentiona, in cazul masuratorilor unor corpuri reale, pe langa valoarea numerica gasita, si scara de masura. In absenta acestei precizari, valoarea gasita nu avea semnificatie, caci nu era vorba de eroare, ci de ceva ce nu a fost luat in masura. 

 Doar dupa elaborarea teoriei geometriei fractale de catre matematicianul Benoit Mandelbrot, aceasta problema a fost solutionata acceptabil. Problema a fost translatata in identificarea unei scari de masura proprii obiectului, ce nu se lasa masurat cu m, metrul patrat sau metrul cub (m, m^2, m^3), ci cu o unitate specifica lui. Unitatea de masura este (L^d) unde (d) este o valoare neintrega, fractionara, intermediara lui D=(1,2,3, ..n) din geometria euclidiana. Pentru valoarea lui d=Df, determinata si atasata precum o caracteristica particulara obiectului analizat, seria aproximatelor parametrului masurat este convergenta si deci obiectul este masurabil (este "consistent", "dens"). Daca d este diferit de aceasta valoare, sirul fie este divergent, fie este convergent la zero, si deci obiectul nu este masurabil.  

De ce a construit natura in asemenea spatii? Ce are in plus un pom fata de un cilindru? Ce diferente nu sunt inca intelese de omul de stiinta intre un arbore cotit si un copac indoit? De ce natura a preferat structurile fractale? Iata cateva intrebari cu adevarat serioase pentru acest sfarsit de mileniu!!!  

Si cum sa determinam exponentul Df? Cum sa construim un "subler" pentru o structura fractala? O intrebare fireasca pentru o atitudine normala atat a unui teoretician, dar si a unui practician care doreste sa aplice imediat orice "noutate stiintifica", in folos propriu sau social. Problema este deosebit de simpla si derivata direct din insasi definitia dimensiunii:  

se masoara obiectul cu un set de scari, din ce in ce mai mici, obtinandu-se un sir de aproximate ale obiectului masurat. Se studiaza convergenta acestui sir, valoarea lui (d) pentru care acest sir este convergent si diferit de zero fiind Df -dimensiunea fractala cautata. 

 Este si dimensiunea atasata structurii analizate, o caracteristica ce poate ajuta la discriminarea intre doua forme, obiecte, profile ce par asemanatoare.  

O metoda practica de evaluare a unitatii proprii unei structuri fractale este cunoscuta sub denumirea de "box counting", in traducere nu prea inspirata "numararea cutiilor". Sa presupunem ca avem o curba data desenata intr-un plan. Putem sa alegem dimensiunea maxima a obiectului si sa construim un patrat ce contine obiectul de analizat. Lungimea laturii acestui patrat poate fi considerata unitatea de masura. Impartim aceasta unitate in doua parti egale; se obtin, la scara 1/2, 4 domenii din care doar (n1) sunt ocupate de structura analizata. Impartim din nou, fiecare patrat in patru parti egale (scara 1/4) si se obtin 16 domenii din care (n2) sunt ocupate de parti ale obiectului analizat. Procedam asemanator pana la limita rezolutiei de care dispunem. Se obtin deci doua siruri: unul pentru scari: 

 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ............... 
si unul pentru numarul de domenii ocupate raportat la numarul total de domenii, dependent de scara: 

  

n1/4, n2/16, n3/64, n 4/ 256, .................. 
Se considera un punct M de coordonate (scara, numar caracteristic determinat la acea scara- de exemplu M1(1/2, n1/n(l/2)), M2( 1/4, n2/n(1/4)), etc , si se reprezinta intr-un sistem ortogonal plan de coordonate logaritmice. Se poate demonstra ca Df este numeric egal cu panta dreptei de regresie trasata de punctele M1,M2,.....Mn. Odata gasita valoarea lui Df, se poate identifica obiectul ca fiind sau nu fractal. Daca Df este foarte aproape de 1 sau de 2, atunci obiectul analizat este de tip euclidian; daca Df are valoare intermediara, fractionara, iar dreapta de regresie se poate determina cu o eroare acceptabila, atunci acel obiect este fractal, caracterizat de insasi valoarea determinata.  

Va lasam sa ,experimentati (boxc.zip-25K) procedeul box-counting de determinare a dimensiunii fractale pentru o serie de curbe caracteristice. In program, limitele pentru parametrii de generare ce pot fi modificati sunt marcate intre paranteze drepte, valoarea intermediara sugerata fiind recomandata pentru a incepe studiul .  

Speram ca aceste scurte programe sa constituie un inceput in propria voastra activitate de descoperire a frumusetii si utilitatii lumii fractale.  

 


 
© 1997 by Florin Munteanu- progremele Cristian Suteanu & Cristian Ioana